在数学对象方面，学生在初中所接触的数学对象仅仅是一些具体的数字，到了中学，则要学习表示数、字母及其构成的代数式、方程以及各种关系等；在方法方面，学生在初中只要求完成一些具体数字的计算，到了中学，则要学习推理和论证。从初中数学到中学数学，必将经历一个从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂的质的转变过程。这个转变过程将对整个中学数学学习起到举足轻重的作用，而完成这一转变的关键时期就是初一。因此，数学教学工作者必须抓住这个关键时期尽力使初一学生得以有效转变，而数学思想的渗透教学是促进有效转变的措施之一。

数学思想被称为数学的“软件”，是数学的基本观点和基本处理方法，它建立在一般具体的数学概念和数学方法的基础上，是数学的抽象概括的产物。许多学生对具体的数学知识学过之后可能会忘掉，但通过知识表现的数学思想却永远不会忘掉。因此，从初一开始就将数学思想的渗透作为教学的核心，将为学生今后的学习打下坚实的基础，使学生终生受益。

一、符号表示的思想

符号表示的思想是初中数学最基本的思想之一。正是有了符号表示的思想，才使数学从数字数学过渡到符号数学，成为一门高度抽象、高度概括和高度简捷的科学。

由于初一教材安排来了大量的有关用字母表示数、用代数式表示数量关系等内容，为符号表示的思想学习提供了条件。为了使学生更好地掌握符号表示的思想，数学教学工作者应注意以下两个方面：第一，强化对符号表示思想自然性和优越性的认识，使学生明白，算术能解决的问题是十分有限的，还有大量问题算术不易解决甚至不能解决。为了使问题得以解决且解决得简捷，我们自然希望寻求比算术更好的方法，引进了数学符号表示数学对象，它能使数学事实表达得更加简单明了，更便于书写和研究，更富有概括意义。例如，用“ ”表示“一个数的倒数与另一个数的倒数的和”、用“-a”表示“一个数的相反数”就充分体现出上述优点。有了这些强烈的意识之后，符号表示思想就会真正转化为学生自己有用的技能之一。第二，强调准确理解和正确使用数学符号。这可以通过大量的对比练习来进行。例如，对于符号“-”，则要讲清楚它的三层含义：作为运算符号时表示“减”，作为性质符号时表示“负”，作为相互关系含义时表示“相反” 的意思。如“ ”表示“ ”的相反数”，这样可以避免把“ ”当作负数。

二、分类讨论的思想

分类讨论思想是在对数学对象进行分类中寻求解答的一种思维方法。初中数学引入有理数概念后，就蕴含着分类讨论的思想，并在以后的学习中不断渗透。初一教材中分类讨论的思想主要体现在有理数的分类、绝对值的分类和整式的分类三种情况。因此，教学中，数学教学工作者要向学生讲清分类的要求（不重、不漏）和分类方法（相对什么属性分类），使学生充分认识分类讨论思想的意义和作用。让学生真正明白任意一个字母，在没有给定明确的取值范围时，可以表示大于零、等于零、小于零的任一数。这样，学生就会避免出现认为一个字母就是正数、一个字母的相反数就是一个负数的片面认识。从而使学生养成运用分类讨论思想解题的习惯，培养严谨的分析问题的能力。

【例1】在式子 中由不同的 值代入，得到相应的值，所有这些值中最小值为       。

〖分析〗根据绝对值的几何意义：

原式

∴最小值为2

三、数形结合的思想

将代数问题用图形来表示，或把几何问题记为代数的形式，通过数与形的结合，使问题转化为易于解决的情形，称为数形结合的思想。

初一教材引入了数轴，这为数形结合的思想奠定了基础。数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。事实的确如此，解题时由数联想到形，又由形联想到数，“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的计算，可以说“数”与“形”是不可分割的整体。

初一数学有许多运用数形结合的思想来解决问题的。如：有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合的重要性。因此，教学工作者要使学生意识到代数与几何的关系是密不可分的，对形的研究离不开数，在形的问题难以解决时，发挥数的功能，在数的问题遇到困难时，画出与它相关的图形，如解应用题时习惯画示意图，常常会给问题解决带来新思路。从几何起始阶段，就注意数形结合，使学生逐步学会运用数形结合的思想去分析问题、解决问题，养成良好的思维习惯，拓宽思维领域。

【例2】 已知 用“ ”号把 连接起来。

〖分析〗此题如果单从“数”的观点来思考，不易做对，但若与“形”（数轴）结合起来，就容易得多，很快得出答案： 。

四、化归的思想

所谓“化归”就是将要解决的问题转化为另一个较易问题或已经解决的问题，具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题。

化归的思想是数学最重要、最基本的思想之一。初一数学教材中，有许多地方体现出这种思想。例如，把减法化归为加法，把除法化归为乘法，把复杂的代数式求值化归为简单的代数式求值，把二元一次方程组的求解化归为一元一次方程的求解等等。实际上，“把 、 各当作一个因式”、 “当作”、“看作”的表述也是化归思想的体现。所有这些内容都为教学工作者向学生渗透化归思想奠定了基础。同时，我们还应特别地看到，每个定理、公式都是数学化归的一个范例：即总是把它成立的证明化归到前此定理、公式或明显事实成立的基础上，而与此同时则又把一些小范围内成立的例题化归(推广)为在更大范围内成立的命题。既能从具体向抽象化归(前进)，又能从抽象向具体化归(后退)，既能由繁到简化归，又能由简到繁化归。总之，通过这些方面的潜移默化，逐渐地把化归思想渗透到学生的认知结构中去，使他们认识到：在数学解题的过程中，有意识地将问题进行转化，使之变为已经解决或较易解决的问题，这是我们常用的行之有效的手段之一。

【例3】 当单项式乘以单项式学过之后，单项式乘以多项式可运用乘法分配律转化为单项式乘以单项式。如：

• • •

同理，多项式除以单项式也可转化为单项式除以单项式。

五、方程的思想

所谓方程的思想，就是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题获解，具体说就是把问题中已知量与未知量之间的数量关系转化为解方程（组）的数学问题，其实质就是数学建模。这种思想广泛应用在解应用题中。

教学中，要向学生讲清算术解法与代数解法的重要区别，明确代数解法的优越性。代数解法从一开始就抓住既包括已知数、也包括未知数的整体，在这个整体中未知数与已知数的地位是平等的，通过等式变形，改变未知数与已知数的关系，最后使未知数成为一个已知数。而算术解法，往往是从已知数开始，一步步向前探索，到解题基本结束，才找出所求未知数与已知数的关系，这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是特殊的。与算术解法相比，代数解法显得居高临下，省时省力。通过方程思想的教学，学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识，激发他们学好方程知识，运用方程思想去解决问题。由此，学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。

【例4】 已知一个锐角的余角是这个锐角的补角的 ，求这个锐角的度数。

〖分析〗 由已知量与未知量之间的数量关系，运用列方程方法来解决，设这个锐角为 度，则它的余角是 度，它的补角是 度，依题意得：

解得 45

所以所求锐角为45度。

六、逆向思维的思想

初一的数学教材中有许多互逆关系的内容。因此在学习知识的过程中，应该逐步帮助学生用逆向思维的方法去理解和巩固所学的知识与方法，并能自觉地将其作为解答问题后的检查方法之一，养成良好的自我检查习惯，培养学生学习的主动性与自信心。学了乘法的分配律，自然也会想到分配律的逆运用。有去括号法则，反过来就有添括号法则，添括号对不对，可用去括号来检验。学了绝对值概念后，知道绝对值等于5的数有几个?两个数的绝对值相等，这两个数是否相等?平行线判定的三个命题，反过来成立不成立，等等。经常这样思考问题，引起学生的认知冲突，就有利于学生加深对知识的理解，发展学生逆向思维能力，培养学生思维的灵活性。

综上所述，在数学教学中，只要我们在初一数学教学中就注意结合教学内容，渗透所涉及的数学思想方法，切实把握好上述几个典型、常用的数学思想，让学生真正从思想方法的高度去理解自己所学的知识，相信一定能提高学生的数学解题能力和学习效率，为广大学生后续学习奠定扎实的基础。