浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

华育中学      黄喆

在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。所谓概念的划分，就是根据它的属性来区分它的对象。即根据它的内涵来对它的外延实行分类。使同一类的对象具有相同的属性，不同类的对象具有不同的属性。这些分类构成若干个新概念的外延，这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性，称为划分的标准。然而根据分类的含义，无论是单层次还是多层次的分类，每一次的划分必须按同一标准进行，划分标准不同，划分的结果也不同。

对于初中数学而言，我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准，供大家讨论。

1、数学概念和定义

例1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|=         

分析：与绝对值相关的问题，一般要去掉绝对值号，这就要根据绝对值的概念进行分类。

解：当a、b同号时，|a+b|=8；当a、b异号时，|a+b|=2。

例2、矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是           （03上海中考第14题）

分析：“两圆相切”的问题在近两年（03、04）上海中考连续出现，考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况，然而得分率均低于50％，说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解：两圆外切时r的取值范围是：1<r<8；两圆内切时r的取值范围是：18<r<25，

∴圆A的半径r的取值范围是1<r<8或18<r<25

2、定理、公式的适用范围

例3、已知abc≠0，且 ，那么直线y=px＋p一定通过第      象限；

分析：等比性质的适用范围是a＋b＋c≠0，题目中并没有交代a＋b＋c的具体性质，须按照适用否等比性质进行讨论。

解：当a＋b＋c≠0，p＝2，y＝2x＋2，经过第一、二、三象限；

当a＋b＋c＝0，p＝－1，y＝-x-1，经过第二、三、四象限；

∴直线y=px＋p一定通过第二、三象限

3、问题中待定参数的变化

例4、关于x的方程(m-4)x²-(2m-1)x+m=0，当m为何值时，方程有实根？

分析：方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次系数须分类讨论。

解：Ⅰ）当m-4＝0，即m＝4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根；

Ⅱ）当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程，其中

    ，即m≥ 且m≠4时，方程有两个实根。

综上所述，方程有实数根的条件是m≥

4、几何量之间的位置关系

例5、平面上A、B两点到直线k距离分别是 与 ，则线段中点C到直线k的距离是                      ；

分析：点A、点B与直线k的位置关系有两种情形：A、B点在直线k的同侧或异侧。

解：Ⅰ）如图，当点A、B两点在直线k的同侧时，设AM⊥k于M，BN⊥k于N，且AM＝ ，BM＝ ，C是AB的中点，CP⊥k于P，则CP是梯形AMNB的中位线，∴

Ⅱ）如图，当A、B两点在直线k的异侧时，过B作BR⊥AM的延长线交于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN。

∵AC＝BC，∴RQ＝BQ，∴PQ＝BN＝ ，

CQ= ，∴CP=PQ-CQ=

∴线段中点C到直线k的距离是2或

5、特殊三角形和四边形的特殊边角

例6、已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。如果△ABC是等腰三角形，求m的值

分析：题目告知了△ABC是等腰三角形，但并没有说明哪两条边对应相等时，就应该考虑到AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况，并分别给予讨论。类似的情况还有告知是直角三角形但没有说明哪个是直角；告知是平行四边形但没有说明哪一组是对边等等

解：令 ，则(mx- )(x-3)=0，x₁=    x₂=3

可知A(3,0)、B( ,0)、C(0,4)，得AC＝5、AB＝ 、BC＝

Ⅰ）当AC＝BC，A、B两点关于y轴对称，即二次函数关于y轴对称，∴m＝

Ⅱ）当AC＝AB，则 ＝5，m＝ 或

Ⅲ）当BC＝AB，则 ＝ ，m＝

综上所述：m等于 .or. .or. .or. 。

6、全等三角形和相似三角形的对应边

例7、如图，直线 分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP＝9（02上海中考）

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。

解：（1）点P的坐标为（2,3）

分析：求△BRT与△AOC相似，就要首先观察这两个三角形的性质，都是直角三角形，但哪两条边为对应边并没有说明，所以就应按对应边的不同进行讨论。

解：（2）可知点R的坐标为（b, ）

① 当△RTB∽△AOC时， ，解方程，得b＝3或b＝－1（舍去）

② 当△RTB∽△COA时， ，解方程，得b＝ 或b＝ （舍去）

综上所述，点R坐标为（3,2）或

学习数学，很重要的一个方面，就是掌握一系列的数学方法，而分类讨论的思想就是其中一枝，也是近几年中考的一个热点。学生应该在学中思考，在思考中总结，这样才能真正地做到融会贯通。

参考书目：《生活 数学 社会—初中数学应用问题集》

推荐人：牟志刚

推荐理由：教学中的分类讨论思想是一种比较重要的思想，通过加强数学分类讨论思想训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来将产生深刻和久远的影响，教师在制订数学目标，采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论的思想，并在具体教学过程中努力实现。根据初中学生的特点，教学要遵照循序渐进、逐步深化的原则，并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。自觉地重视和加强分类讨论思想的教学，也是实施素质教育的具体表现，教学中的分类讨论教学与素质教育中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。