有机渗透数学思想有效提升思维能力
《数学新课程标准》在总体目标中指出：“让学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识及基本的思想方法和必要的应用技能。”可见，数学思想方法有利于提高学生的思维素质，促进学生后续健康发展，充分说明了数学思想方法的重要性。
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。特别是初一新生，刚刚步入初中，一切是那么陌生，尤其是数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，因此，在数学教学过程中，有机的渗透数学思想，能有效的提升学生的数学思维，确保学生顺利的实现小学到初中质的过渡。
初中数学中蕴含多种的数学思想方法，在初一，学生将会接触到的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、整体思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
1、 在知识传授过程中渗透数学思想方法
由于初中学生把数学思想方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因此我们在实际操作时可以把数学知识作为有效载体，把数学思想方法的教学有机渗透到数学知识的教学过程中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。如在数轴教学时，可引导学生观察数轴上数的分布特点，由学生归纳出“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”等重要结论。既可以使这一章节的重点突出，难点得以分解；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。数学大师希尔伯特曾经说过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。”在研究 “多边形内角和定理”时，我们可以从特殊的三角形和四边形的内角出发，引导学生探求一般四边形内角和。（转化为三角形）然后，循序渐进，五边形、六边形、七边形…… n 边形内角和又是多少呢？从中让学生发现规律？猜想出 n 边形内角和的表达式，最后上升为理论证明，这里就蕴涵了类比化归思想、归纳、猜想思想以及数形结合思想。在数学题目中，我们会常碰到一类特殊的题目，如已知方程组求x—y的值。我曾经请五个学生上黑板，最后，四个人还在繁杂的数字中苦苦计算、摸不着头脑的时候，一个学生三下五除二就求出了答案。原来他应用了整体思想，通过两个方程相加，即可求解。通过比较，学生感受到数学思想的重要作用，加深了对数学思想的认识。再如：进行同底数幂的乘法教学时，可以从数的运算特例中，抽象概括出幂的一般运算性质。让学生计算10×10、 2 ×2 ，然后，底数一般化：a ×a ；最后，指数一般化：a ×a ；由此得法则：a ×a =a . 这样让学生经历了观察、发现、由特殊到一般，从具体到抽象的过程，较好地渗透了数学思想、方法。
2、 在习题训练反馈中巩固数学思想方法
数学课堂教学必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想，才能有效地发展学生的数学思想，提高学生的数学素养。波利亚认为：解题，就是意味着把要解的问题转化为已解的问题，最终使原问题获得解决。这就是转化思想。 数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次、化多元为一元等，是解决问题的一种最基本的思想。因此在教学中，首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的；其次结合具体的教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。例如:若方程组 的解为 则方程组 的解是多少？根据教学经验，很多同学都是通过直接解方程组 求得结果。只有少数同学通过观察，结合两个方程组的特点采取了一种更简单、更省时的做法：由题意可得：解得 。真正验证了 “磨刀不误砍柴工”的道理。其实，这种解法蕴含了整体思想、换元思想。再如，在学习了代数式后，我们会经常设计这种类型的题目：当时，求 的值。该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式 。
3、 在反思延伸总结中提升数学思想方法
在与学生的交流中，我们会常常听到学生埋怨：为什么上课听得懂，当时也会做题目，但课后或时间长了再解题，特别是遇到新题型便无所适从。究其原因就在于学生没有掌握知识的本质，教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题的探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”绝对值是初一比较难的一部分内容。有的学生初中毕业时还没有搞清楚，为什么绝对值符号去掉后，有时会冒出一个负号。笔者认为，要真正学好绝对值，数形结合思想不可少。“数缺形时少直观，形无数时难入微，两者结合万般好，隔离分家万事休。”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。 指数轴上表示数a的点到原点的距离。既然是距离，其结果就应该是一个非负数。初一代数是直接给出绝对值的描述性定义（正数的绝对值取它的本身，负数的绝对值取它的相反数，零的绝对值还是零）学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套，如何用我们刚刚所学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念，我们在教学中可按如下方式提出问题引导学生思考：（1）在数轴上将下列各数0、1、—1、4、—4 在数轴上表示出来；（2）1与—1；4与—4有什么关系？（3）4到原点的距离与—4到原点的距离有什么关系？1 到原点的距离与—1 到原点的距离有什么关系？这样引出绝对值的概念后，再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义。（4）绝对值等于8的数有几个？你能从数轴上说明吗？通过上述教学方法，学生既学习了绝对值的概念，又渗透了数形结合的数学思想方法，这对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题，无疑是有益的。继续延伸至：（1）若 ，求a的值。（2）在平面直角坐标系中，若A（2，4），AB平行x轴，且AB=6 ，求B点坐标。这样通过延伸，把基本的数学思想、方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，在运用思想方法的同时，也巩固了知识、技能。这样，思想方法有载体，知识技能有灵魂，真正提高学生的数学素养。
再如：学习了角之后，我们可以出示下面一题：已知∠BAC=600，∠BAD=300，求∠BAC。学生会轻易得出∠BAC=90°的结论。显然这一结果是片面的，思考不完整的，正确答案是90°或30°。究其根源，学生忽视了无图题的两解性。通过引导学生正确解决上述问题，学生体会到了数学思想在解题中的重要作用，激发学生的求知兴趣，从而加强了对数学思想的认识。
著名日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻味的话：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”可见，数学思想方法对学生的成长起着举足轻重的作用。诚然，要使学生真正具备了有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到，但是只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟。
强化数学思想，优化思维品质。
数学思维是数学教育的核心，数学思维品质是数学思维能力的标志，其主要体现在思维的概括性、简洁性、灵活性、创造性、广阔性、条理性等，它们互相渗透、相互联系，从不同的侧面体现出学生的数学思维品质。而加强数学思想的教学在培养学生的数学思维品质方面有着重要作用。通过符号换元思想培养思维的概括性，运用化归思想培养思维的灵活性，利用数形结合思想培养思维的形象性，应用类比思想增强思维的广阔性，利用分类思想训练思维的条理性。
1、 通过符号思想，培养思维的概括性
“抽象几乎是数学的代名词”。符号化是数学知识体系中的重要的数学思想，是对数学原型抽象化、概括化的产物。用符号不仅可以表示数量、求未知数、代数式，还可以表示变量和函数，更为突出是符号还可以概括出量与量之间的关系，使思维更加精确、简洁。通过数学思想方法教学，让学生对一类特殊的数学对象复杂的现象把握问题的本质，找出一般规律，从而培养学生的概括能力，优化学生的思维品质。
如在定义、公式、定理的教学中，通过采用数学符号，培养学生的抽象概括能力。事实证明，在数学学习上只要让学生突破具体直观向“符号”抽象思维的过渡，才会提高学生的概括能力，让学生掌握数学知识。
如观察下列一组等式
（+2）+（-2）=0
（+3）+（-3）=0
（+4）+（-4）=0
可以启发学生用字母a代替等式中第一个加数，那么第二个加数就是-a，于是得到一般等式a+（-a）=0。这一表述过程是用字母代替数的过程，从而达到感性认识到理性认识的转化，培养思维的概括性。
2、 渗透化归思想，培养思维的创造性
化归思想，就是把问题进行变换，转化为已经解决或容易解决的问题的思想方法。化归思想寻求所求问题与已有问题间的逻辑关系，观察、联想、转化是实现化归的根本途径。领会了化归意识，就可熟练地进行各种转化，化繁为简，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体，从而沟通知识的相互联系，促进思维的创造性的形成和发展。
转化问题是解决问题的关键，转化的思想体现出来的是化归的意识。如：把减法运算转化为加法运算；把除法运算转化为乘法运算；把异分母分式转化为同分母分式；高次方程转化为低次方程，无理方程转化为有理方程；负数立方根转化为正数立方根的问题；把几何问题化归为代数问题等等，都充分体现了思维的创造性。法国数学家笛卡儿曾说过：“把我所考察的每个难题都尽可能地分成细小的部分，直到可以圆满解决的程度为止。”平面几何中，充分地体现这种策略。三角形是基本图形，四边形或多边形的问题多半要转化为“三角形”来解决。如四边形添加一条对角线，就变成二个三角形，多边形通过分割同样可以化为若干个“三角形”来研究。这样从三角形过渡到多边形，也体现了由简到繁、由具体到一般的教学原则。教学中，注意为学生提供思维发展的背景材料，展示化归思想，形成自觉的化归意识，培养思维的创造性。 3、利用数形结合，培养思维的灵活形
数学最本质的东西是抽象。数学教学把抽象的东西形象化，利用直观的形象认识抽象的数学知识，培养学生思维的灵活性。如学习平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
就可以通过构造出直观模型，利用“形”与“数”的对比来验证公式的正确性。 但这个公式的本质是什么？对此，我们构造出一个形象的直观模型：
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
直观模式（ □ + △ ）（ □ - △）= □2- △2
有了直观模式就能激发学生的思维，促进学生思维的灵活性和创造性：公式不限于某个数字和字母。数学的进步及其活力，总是依赖于抽象对具体的帮助，以及具体对抽象的演绎。激发学生去探索，积极地思维。由此可见，数形结合也是激发学生进行积极、准确思维的重要方式，同时也能降低数学知识理解上的难度。
（4）运用类比思想，培养思维的广阔性
类比推理，是根据两个不同的对象的某些方面（如特征、属性、关系）相同或相似，推比了它们在其他方面也可能有相同或相似的思维形式。它是思维中特殊到特殊的推理形式。培养学生思维的广阔性，重要的是培养学生从多角度、多方面去分析问题、思考问题和解决问题的思维方式，使思维开阔，联想广泛，能用不同的方式去解决问题。类比是数学发现的主要方法之一，也是数学学习的主要方法之一。数学新知识有些可以通过类比而掌握，从而达到促进学生思维的广阔性。“因式分解”可类比“因数分解”而获得；分式的概念、性质运算可类比于分数而获得；二次根式的性质可类比幂的运算性质而获得。心理学家认为，把不同事物联系起来思考是人类创造性思维活动的重要方式。通过类比推理和类比联想可开阔思维的广度，起到由此及彼、由表及里、触类旁通的作用。
（5）渗透分类思想，训练思维的条理性
分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。分类讨论是数学发现的重要手段。通过分类，可以化整为零，变一般为特殊，变模糊为清晰，变抽象为具体。中学数学中常用的分类思想，特别有助于数学知识的总结归纳，使知识系统化、整体化，逐步形成一个完整、系统、严密的知识结构网络，从而使思维具有条理性、目的性。
如“有理数加法法则”的学习过程就是分类思想运用的过程，是培养学生思维条理性的一次极好的机会。先让学生举例，总结两数相加的七种情况，再进一步归纳为三种情况：同号两数相加、异号两数相加以及一数和零相加，结合数轴就得到了有理数的加法法则，让学生对有理数加法运算有了清晰的印象。如对一元二次方程的根的判别式的分类讨论，使我们对方程的根、二次函数的图象于X轴的交点个数有了清晰的认识。
“授人以鱼，不如授之以鱼”。数学思想是数学思维的内核。数学教学中要有意识、有目的地结合数学知识、逐步渗透数学思想，让学生在潜移默化中掌握数学思想，促进学生良好的数学思维品质的形成。
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